Решить систему уравнений х+у+2ху=7 ху+2(х+у)=8

Решить систему уравнений х+у+2ху=7 ху+2(х+у)=8

  • left { {{x+y+2xy=7} atop {xy+2(x+y)=8}} right left { {{2xy=7-x-y} atop {xy+2x+2y=8}} right left { {{2xy=7-x-y} atop {xy=8-2x-2y}} right left { {{2*(8-2y-2x)=7-x-y} atop {xy=8-2x-2y}} right left { {{16-4y-4x=7-x-y} atop {xy=8-2x-2y}} right left { {{9-3y-3x=0} atop {xy=8-2x-2y}} right left { {{y=3-x} atop {x(3-x)=8-2x-6-2x}} right left { {{y=3-x} atop {3x-x^2-2+4x=0}} right

  • x+y+2xy=7 => 2x+2y+4xy=14 => 4xy + 2(x+y) = 14

    Вычитаем второе уравнение:

    4xy+2(x+y) — xy — 2(x+y) = 14 — 8

    3xy = 6

    xy = 2

    Подставляем xy во второе уравнение:

    2+2(x+y)=8 => x+y=(8-2)/2=3

    Итого:

    begin{cases} xcdot y=2x+y=3end{cases}

    x=3-y

    xy=(3-y)*y=2

    y^2-3y+2=0

    y_{1,2}=frac{-bfrac{+}{}sqrt{b^2-4ac}}{2a}=frac{3frac{+}{}sqrt{9-4cdot2}}{2}=frac{3frac{+}{}1}{2}

    y_{1}=1

    y_{2}=2

    x_{1,2}=3-y_{1,2}

    x_{1}=3-1=2

    x_{2}=3-2=1

    Ответ: 1) x=1, y=2; 2) x=2, y=1